Esta plataforma é exclusiva para integrantes da Polícia Militar do Estado de São Paulo interessados no concurso de admissão ao CFS.
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O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números é o menor número que é múltiplo de todos eles. Existem diferentes métodos para encontrar o MMC, mas o mais comum é o método de fatoração em números primos.
Aqui está um passo a passo para encontrar o MMC usando esse método:
Fatorar cada número em seus fatores primos. Por exemplo, se tivermos os números 12 e 18, suas fatorações seriam: 12 = 2^2 * 3 18 = 2 * 3^2
Escrever todos os fatores primos encontrados, com os maiores expoentes encontrados para cada fator. Neste exemplo, teríamos: 2^2 * 3^2
O MMC é o produto desses fatores primos. No nosso exemplo, o MMC de 12 e 18 seria: MMC(12, 18) = 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36
Portanto, o MMC de 12 e 18 é 36.
Esse método pode ser estendido para encontrar o MMC de mais de dois números. Basta fatorar cada número, escrever os fatores primos com os maiores expoentes encontrados e calcular o produto desses fatores.
É importante notar que o MMC também pode ser encontrado usando a técnica da decomposição em fatores primos ou a tabela de divisores, dependendo da preferência e dos números envolvidos.
O máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais números é o maior número que divide todos eles sem deixar resto. O MDC também é conhecido como maior fator comum ou maior divisor comum.
Existem várias maneiras de encontrar o máximo divisor comum. Duas das abordagens mais comuns são o método das divisões sucessivas (também conhecido como algoritmo de Euclides) e a decomposição em fatores primos.
Método das divisões sucessivas (Algoritmo de Euclides):
Decomposição em fatores primos:
Por exemplo, vamos encontrar o MDC de 24 e 36 usando o método das divisões sucessivas:
Passo 1: 36 ÷ 24 = 1, resto 12 Passo 2: 24 ÷ 12 = 2, resto 0
O último divisor não nulo é 12, portanto, o MDC de 24 e 36 é 12.
A razão e proporção são conceitos fundamentais na matemática que estão relacionados à comparação entre quantidades. Eles são amplamente utilizados em diversas áreas, como álgebra, geometria, estatística e problemas do cotidiano.
Razão: A razão é uma comparação entre duas quantidades ou valores. Ela é expressa pela divisão de um número pelo outro. Por exemplo, se tivermos 2 maçãs e 3 bananas, a razão entre as maçãs e as bananas é 2/3. A razão também pode ser expressa em forma de fração ou porcentagem.
Proporção: Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Ela é uma afirmação de que duas razões são iguais. Uma proporção é escrita na forma “a/b = c/d”. Por exemplo, se tivermos a proporção 2/3 = 4/6, significa que as duas razões são iguais, pois 2 dividido por 3 é igual a 4 dividido por 6.
Propriedades das proporções:
Aplicações das razões e proporções:
A regra de três simples é um método matemático utilizado para resolver problemas de proporção entre três valores conhecidos. Ela permite encontrar um quarto valor desconhecido que guarda relação proporcional com os outros três.
A regra de três simples é baseada na ideia de que grandezas diretamente proporcionais têm uma relação constante entre si. Ou seja, se uma grandeza aumenta ou diminui em uma certa proporção, as outras grandezas relacionadas também aumentam ou diminuem na mesma proporção.
Existem dois tipos de regra de três simples: a direta e a inversa.
Regra de três simples direta: É utilizada quando as grandezas são diretamente proporcionais. Nesse caso, podemos usar a seguinte fórmula:
Valor 1 / Valor 2 = Valor 3 / Valor 4
Onde Valor 1 e Valor 2 são os valores conhecidos que estão relacionados, e Valor 3 e Valor 4 são os valores desconhecidos que queremos encontrar. Basta multiplicar em cruz e dividir para obter a resposta.
Regra de três simples inversa: É utilizada quando as grandezas são inversamente proporcionais. Nesse caso, a relação entre os valores é inversa, ou seja, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa. Para resolver esse tipo de problema, utilizamos a seguinte fórmula:
Valor 1 / Valor 2 = Valor 4 / Valor 3
Aqui, também multiplicamos em cruz e dividimos para encontrar a resposta.
A regra de três simples é uma ferramenta útil em várias situações do dia a dia, como cálculos de porcentagem, conversões de unidades, entre outros. Ela permite encontrar valores desconhecidos com base em uma proporção estabelecida pelos valores conhecidos.
A regra de três composta é um método matemático utilizado para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais e relacionadas entre si. Ela é chamada de composta porque envolve mais de duas grandezas.
Na regra de três simples, é possível resolver problemas envolvendo apenas duas grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. No entanto, quando temos três ou mais grandezas relacionadas, utilizamos a regra de três composta.
Para resolver um problema utilizando a regra de três composta, é necessário estabelecer uma proporção entre as grandezas e montar uma tabela para organizar os valores. Em seguida, são aplicadas as propriedades das proporções para encontrar o valor desconhecido.
Vamos ver um exemplo para ilustrar melhor:
Suponha que 4 operários, trabalhando 8 horas por dia, conseguem produzir 120 peças. Quantas peças 6 operários, trabalhando 6 horas por dia, conseguirão produzir?
Podemos montar uma tabela com as grandezas relacionadas:
Operários | Horas por dia | Peças produzidas 4 | 8 | 120 6 | 6 | x
Agora, estabelecemos uma proporção entre as grandezas:
4/6 = 8/6 = 120/x
Resolvendo a proporção:
4x = 6 * 120 * 8 4x = 5760 x = 5760/4 x = 1440
Portanto, 6 operários, trabalhando 6 horas por dia, conseguirão produzir 1440 peças.
Esse é um exemplo simplificado para ilustrar o conceito da regra de três composta. Em problemas mais complexos, pode ser necessário trabalhar com mais grandezas e proporções, mas o método geral continua o mesmo.
A média simples, também conhecida como média aritmética, é um conceito matemático básico utilizado para calcular um valor médio a partir de um conjunto de números. Para calcular a média simples, você precisa seguir os seguintes passos:
Some todos os valores: Some todos os números que você deseja calcular a média.
Conte o número de valores: Determine quantos números você está somando.
Divida a soma pelo número de valores: Divida a soma obtida no passo 1 pelo número de valores obtido no passo 2.
A fórmula da média simples é representada da seguinte forma:
Média = (Soma dos valores) / (Número de valores)
A média simples é bastante utilizada em diversas situações, como para calcular a média de notas de alunos, média de temperatura ao longo de vários dias, média de valores financeiros, entre outros.
Vamos exemplificar o cálculo da média simples com um conjunto de números:
Suponha que você queira calcular a média das notas de três alunos: 7, 8 e 6.
Some todos os valores: 7 + 8 + 6 = 21.
Conte o número de valores: Há três notas no conjunto.
Divida a soma pelo número de valores: 21 / 3 = 7.
Portanto, a média das notas dos três alunos é igual a 7.
Lembre-se de que a média simples fornece um valor médio, mas não leva em consideração a distribuição dos valores ou eventuais discrepâncias. Em alguns casos, pode ser útil considerar outras medidas estatísticas, como a mediana ou o desvio padrão, para ter uma visão mais completa dos dados.
A média ponderada é um conceito da matemática que é usado para calcular uma média em que diferentes elementos têm pesos diferentes. É comumente aplicada em situações em que certos elementos têm uma importância maior do que outros na média final.
Para calcular a média ponderada, é necessário conhecer os valores dos elementos e seus respectivos pesos. Os passos básicos são os seguintes:
Multiplique cada valor pelo seu peso correspondente.
Some os produtos obtidos no passo anterior.
Some os pesos de todos os elementos.
Divida a soma dos produtos pelo total dos pesos.
A fórmula matemática para a média ponderada é a seguinte:
Média ponderada = (valor₁ * peso₁ + valor₂ * peso₂ + … + valorₙ * pesoₙ) / (peso₁ + peso₂ + … + pesoₙ)
Aqui está um exemplo para ilustrar como calcular a média ponderada:
Suponha que você tenha três notas em um curso, cada uma com um peso diferente:
Nota 1: 8 (peso 2)
Nota 2: 7 (peso 3)
Nota 3: 9 (peso 4)
Aplicando a fórmula, a média ponderada seria calculada da seguinte forma:
Média ponderada = (8 * 2 + 7 * 3 + 9 * 4) / (2 + 3 + 4)
= (16 + 21 + 36) / 9
= 73 / 9
≈ 8.11
Portanto, a média ponderada das notas seria aproximadamente 8.11.
Os juros simples são uma forma básica de cálculo de juros, onde o valor dos juros é calculado apenas com base no valor principal (ou capital), na taxa de juros e no tempo.
A fórmula geral para o cálculo de juros simples é a seguinte:
Juros = (Valor Principal) x (Taxa de Juros) x (Tempo)
Onde:
Valor Principal é o valor inicial do empréstimo ou investimento.
Taxa de Juros é a taxa percentual aplicada sobre o valor principal.
Tempo é o período de tempo em que o dinheiro é emprestado ou investido.
Por exemplo, se você emprestar R$ 1000,00 a uma taxa de juros de 5% ao ano durante 3 anos, o cálculo dos juros simples seria:
Juros = 1000 x 0,05 x 3 = R$ 150,00
Portanto, os juros seriam de R$ 150,00.
É importante notar que, nos juros simples, os juros são sempre calculados apenas sobre o valor principal e não levam em consideração os juros acumulados em períodos anteriores.
Além disso, vale destacar que os juros simples são menos comuns do que os juros compostos, onde os juros são calculados não apenas sobre o valor principal, mas também sobre os juros acumulados anteriormente. Os juros compostos são mais utilizados na prática, principalmente em transações financeiras de longo prazo, como empréstimos, investimentos, financiamentos, entre outros.
Uma equação do primeiro grau, também conhecida como equação linear, é uma equação matemática na forma:
ax + b = 0
Nessa equação, “a” e “b” são coeficientes constantes, e “x” é a variável desconhecida. O objetivo é encontrar o valor de “x” que satisfaz a equação.
Para resolver essa equação, podemos isolar a variável “x” em um dos lados da equação. A primeira etapa é mover o termo “b” para o outro lado, trocando o sinal:
ax = -b
Em seguida, podemos isolar “x” dividindo ambos os lados da equação por “a”:
x = -b/a
Portanto, o valor de “x” é igual a -b/a. Esse é o único valor que satisfaz a equação do primeiro grau.
Um sistema de equações do primeiro grau é composto por um conjunto de equações lineares em que o maior expoente da variável é 1. Cada equação no sistema é representada por uma linha e pode conter uma ou mais variáveis. O objetivo é encontrar os valores das variáveis que satisfaçam simultaneamente todas as equações.
Geralmente, um sistema de equações do primeiro grau é escrito na forma:
a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0
Onde x e y são as variáveis, a₁, b₁, c₁, a₂, b₂ e c₂ são os coeficientes constantes de cada equação.
Para resolver um sistema de equações do primeiro grau, existem diferentes métodos, como o método da substituição, o método da adição ou o método da matriz. Cada método pode ser aplicado dependendo do número de equações e variáveis envolvidas no sistema.
A solução do sistema de equações é um conjunto de valores para as variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente. Em alguns casos, o sistema pode não ter solução ou pode ter infinitas soluções.
Exemplo de resolução
x + 2y = 10 —–> Equação 1 2x – y = 5 —–> Equação 2
Podemos utilizar o método de substituição ou o método da adição/subtração. Vou mostrar o método de substituição:
Isolamos uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar x na Equação 1: x = 10 – 2y
Substituímos o valor de x na Equação 2: 2(10 – 2y) – y = 5 20 – 4y – y = 5 20 – 5y = 5
Agora, resolvemos a equação resultante para encontrar o valor de y: -5y = 5 – 20 -5y = -15 y = -15 / -5 y = 3
Agora, substituímos o valor de y em qualquer uma das equações originais para encontrar o valor de x. Vamos usar a Equação 1: x + 2(3) = 10 x + 6 = 10 x = 10 – 6 x = 4
Portanto, a solução do sistema de equações é x = 4 e y = 3.
As tabelas e gráficos são ferramentas amplamente utilizadas para representar e analisar a relação entre grandezas. Ambas as formas de representação visual têm o objetivo de organizar informações e permitir a compreensão das relações existentes entre diferentes variáveis ou conjuntos de dados.
As tabelas são estruturas organizadas de dados dispostos em linhas e colunas. Elas são especialmente úteis para apresentar valores específicos e quantidades precisas de cada variável em estudo. As tabelas fornecem uma visão detalhada dos dados, permitindo a identificação rápida de padrões, comparações e cálculos. Elas também podem ser usadas para calcular totais, médias, variações e outras estatísticas.
Já os gráficos são representações visuais que mostram a relação entre as grandezas através de uma representação gráfica. Eles são usados para transmitir informações de forma mais intuitiva e facilitar a compreensão de padrões e tendências. Os gráficos podem ser usados para representar diferentes tipos de dados, como pontos, barras, linhas, setores de pizza, entre outros.
Existem vários tipos de gráficos comuns, cada um adequado para representar diferentes tipos de relacionamentos entre as grandezas. Alguns exemplos incluem:
Gráfico de barras: É utilizado para comparar valores de diferentes categorias ou para mostrar mudanças ao longo do tempo.
Gráfico de linhas: É usado para mostrar a evolução de uma grandeza ao longo do tempo ou para traçar uma relação entre duas variáveis.
Gráfico de dispersão: É utilizado para representar a relação entre duas variáveis contínuas, mostrando como os pontos estão dispersos em um plano cartesiano.
Gráfico de pizza: É usado para mostrar a proporção de diferentes categorias em relação ao todo, dividindo um círculo em setores.
Gráfico de colunas: É semelhante ao gráfico de barras, mas as barras são dispostas verticalmente.
Tanto as tabelas quanto os gráficos podem ser usados em conjunto para fornecer uma compreensão mais completa das relações entre as grandezas. As tabelas podem fornecer os valores exatos, enquanto os gráficos facilitam a visualização e a identificação de padrões e tendências. Ao combinar essas duas formas de representação, é possível obter uma visão abrangente das relações entre as grandezas e comunicar os resultados de forma mais eficaz.
A matemática é uma disciplina que estuda a quantidade, a estrutura, o espaço e as relações abstratas. Ela desempenha um papel fundamental no desenvolvimento e na compreensão de muitas áreas da ciência e da vida cotidiana. Um dos aspectos importantes da matemática é a aplicação de sistemas de medidas usuais para quantificar e comparar diferentes quantidades físicas.
Os sistemas de medidas usuais são sistemas de unidades que são amplamente utilizados em todo o mundo para medir e expressar grandezas físicas comuns. Existem diferentes sistemas de medidas, mas os mais comuns são o Sistema Internacional de Unidades (SI) e o sistema de medidas imperiais.
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o sistema métrico padrão amplamente utilizado em todo o mundo. Ele define unidades para medir comprimento, massa, tempo, temperatura, quantidade de substância, corrente elétrica, intensidade luminosa e outras grandezas físicas. Alguns exemplos de unidades SI são o metro (m) para comprimento, o quilograma (kg) para massa, o segundo (s) para tempo e o kelvin (K) para temperatura.
O sistema de medidas imperiais é amplamente utilizado nos Estados Unidos e em alguns outros países. Ele tem unidades diferentes para medir comprimento, massa e volume em relação ao SI. Alguns exemplos de unidades imperiais são a polegada (in) para comprimento, a libra (lb) para massa e o galão (gal) para volume.
Além desses sistemas, existem sistemas de medidas específicos para certas áreas, como o sistema de medidas usadas em eletricidade e eletrônica, sistemas de medidas usadas em astronomia, entre outros.
É importante notar que, embora diferentes sistemas de medidas sejam usados em diferentes partes do mundo, a matemática fornece as ferramentas necessárias para converter entre as unidades de diferentes sistemas de medidas e fazer cálculos com elas. Essa habilidade é crucial em muitos campos, como ciências, engenharia, comércio e muito mais.
Metro, centímetro e quilômetro são unidades de medida de comprimento que fazem parte do sistema métrico, amplamente utilizado em todo o mundo. Aqui está uma explicação de cada uma delas:
Metro (m): O metro é a unidade fundamental de comprimento no sistema métrico. Ele é usado para medir distâncias relativamente curtas, como a altura de uma pessoa, a largura de uma sala, o comprimento de uma rua, entre outros. 1 metro é igual a 100 centímetros e 0,001 quilômetro.
Centímetro (cm): O centímetro é uma unidade menor de comprimento em relação ao metro. Ele é usado para medir distâncias muito pequenas, como o tamanho de um objeto pequeno, a espessura de uma folha de papel, entre outros. 1 centímetro é igual a 0,01 metro e 0,00001 quilômetro.
Quilômetro (km): O quilômetro é uma unidade maior de comprimento em relação ao metro. Ele é usado para medir distâncias maiores, como a distância entre cidades, a extensão de uma rodovia, entre outros. 1 quilômetro é igual a 1000 metros e 100000 centímetros.
Essas unidades de medida de comprimento são amplamente utilizadas em situações do dia a dia, em ciências, na engenharia e em muitos outros contextos em que é necessário medir e quantificar distâncias.
Figuras geométricas no espaço: mundo concreto e mundo abstrato
Mundo concreto: é mundo no qual vivemos e realizamos nossas atividades.
Mundo abstrato: é o mundo onde ocorrem pensamentos, reflexões, ideias e também representação mental que fazemos das coisas do mundo concreto.
A Geometria é um conhecimento matemático que se desenvolve no mundo abstrato, com base no mundo concreto, real.
As formas geométricas são divididas em formas planas e formas espaciais.
Formas planas são aquelas que possuem duas dimensões, como o triângulo e o quadrado.
Polígonos são figuras planas fechadas por segmentos de reta.
Não polígonos são figuras planas que não satisfazem a definição de polígono.
Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para determinar as medidas de alguma figura.
Veja abaixo o significado de cada conceito:
Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica.
Perímetro: soma das medidas de todos lados de uma figura.
A área é uma grandeza importante da geometria. Dada uma figura geométrica, a área é a medida de superfície dessa figura. Para calcular a área das figuras planas, utilizamos fórmulas específicas para cada uma delas, quando necessário, dividimos a figura plana em figuras planas conhecidas e somamos as áreas.
Chamamos de volume o espaço que um determinado sólido geométrico ocupa, logo, só faz sentido calcular o volume de objetos tridimensionais.
A medida de volume no sistema internacional de unidades (SI) é o metro cúbico (m3). Sendo que 1 m3 corresponde ao espaço ocupado por um cubo de 1 m de aresta.
As unidades do sistema métrico decimal de volume são: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), decâmetro cúbico (dam3), metro cúbico (m3), decímetro cúbico (dm3), centímetro cúbico (cm3) e milímetro cúbico (mm3).
Ângulos são a região interna formada por duas semirretas que partem de um mesmo ponto. A palavra ângulo é usada para nomear dois objetos. O primeiro é a abertura entre duas semirretas que compartilham o mesmo ponto inicial ou entre dois segmentos de reta que possuem apenas uma extremidade comum.
Chamamos de ângulo agudo quando a sua abertura em grau é maior do que 0° e menor que 90°. Já o ângulo reto é a medida exata em abertura de 90°. O ângulo obtuso é a abertura maior que 90° e menor que 180°. Já o ângulo raso é a quando a medida tem exatamente 180°.
O teorema de Pitágoras é uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. De acordo com esse teorema, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
